Abschnitt 4.4
Kapitalwertmethode
Das kannst du danach
- Du erklärst, warum ein Euro heute mehr wert ist als ein Euro in der Zukunft.
- Du zinst künftige Beträge mit dem Abzinsungsfaktor auf den heutigen Zeitpunkt ab.
- Du berechnest den Kapitalwert einer Investition mit Einzahlungsüberschüssen und Liquidationserlös und triffst eine Entscheidung.
- Du vergleichst Alternativen, beurteilst den Einfluss des Kalkulationszinssatzes und nennst Schwächen des Verfahrens.
Worum es geht
tun so, als wäre ein Euro in fünf Jahren genauso viel wert wie ein Euro heute. Das stimmt nicht: Wer das Geld früher hat, kann es arbeiten lassen. Die rechnet deshalb jede Zahlung auf heute um und zeigt in einer Zahl, ob eine Investition mehr bringt, als das Unternehmen mindestens verlangt.
Geld hat einen Zeitwert
Definition
Der ist der heutige Wert einer künftigen Zahlung. Man erhält ihn durch Abzinsen. Umgekehrt wächst ein heutiger Betrag durch Aufzinsen zum .
Formel
Barwert (Abzinsen)
Barwert = Zahlung ÷ (1 + i)ⁿ = Zahlung × Abzinsungsfaktor
i = Zinssatz, z. B. 0,08 für 8 %; n = Jahre bis zur Zahlung.
Formel
Endwert (Aufzinsen)
Endwert = heutiger Betrag × (1 + i)ⁿ
Definition
Der 1 ÷ (1 + i)ⁿ rechnet eine Zahlung in n Jahren auf heute um; er steht meist in einer Tabelle.
Beispiel aus dem Alltag
Das Sparziel für den Führerschein
Mia braucht in drei Jahren 2.000 € für den Führerschein. Bekommt sie auf ihr Sparkonto 3 % Zinsen, reichen heute 2.000 € ÷ 1,03³ ≈ 1.830 € – das ist der Barwert der 2.000 €. Die fehlenden 170 € bringen die Zinsen.
Merksatz
Spät fließendes Geld ist heute weniger wert – und umso weniger, je mehr Zinsen es anderswo brächte.
Der Kapitalwert
Definition
Der C₀ ist die Summe der aller Rückflüsse einer Investition minus der . Rückflüsse sind die der Jahre und am Ende der .
Formel
Kapitalwert
C₀ = Σ Barwerte der Einzahlungsüberschüsse + Barwert des Liquidationserlöses − Anschaffungsauszahlung
Die Anschaffungsauszahlung fällt heute an und wird nicht abgezinst.
| Kapitalwert | Bedeutung |
|---|---|
| C₀ > 0 | Die Investition verzinst das Kapital höher als mit dem und bringt zusätzlich einen Überschuss – vorteilhaft. |
| C₀ = 0 | Sie bringt genau die geforderte Verzinsung. |
| C₀ < 0 | Sie verfehlt die geforderte Verzinsung – nicht vorteilhaft. |
Jede Zahlung wird mit ihrem eigenen Jahr abgezinst – erst dann wird addiert und die Anschaffung abgezogen.
Schritt für Schritt
Die Etikettiermaschine der Brauerei Kessler
Anschaffung 80.000 €, Nutzung 3 Jahre, Einzahlungsüberschüsse 30.000 €, 35.000 €, 25.000 €, Verkaufserlös am Ende 10.000 €, Kalkulationszinssatz 8 %.
Jahr 1 abzinsen.
Ergebnis:30.000 € ÷ 1,08 = 27.777,78 €
Jahr 2 abzinsen.
Ergebnis:35.000 € ÷ 1,08² = 30.006,86 €
Jahr 3 mit Liquidationserlös abzinsen.
Ergebnis:(25.000 € + 10.000 €) ÷ 1,08³ = 27.784,13 €
Barwerte addieren, Anschaffung abziehen.
Ergebnis:85.568,77 € − 80.000 € = 5.568,77 €
Entscheiden.
Ergebnis:C₀ > 0 – die Maschine verzinst das Kapital mit mehr als 8 % und ist vorteilhaft.
Beispiel aus der Praxis
Das Blockheizkraftwerk der Stadtwerke Talheim
Die Stadtwerke Talheim prüfen ein Blockheizkraftwerk für 400.000 €, das zehn Jahre lang je 55.000 € Überschuss bringen soll. Zusammen sind das 550.000 € – scheinbar 150.000 € mehr als der Preis. Abgezinst mit 6 % sind die Überschüsse heute aber nur rund 404.800 € wert: Der Kapitalwert beträgt knapp 4.800 €. Die Anlage lohnt sich gerade noch.
Typischer Fehler
Den Kapitalwert als Jahresgewinn lesen. 5.568,77 € sind kein Gewinn pro Jahr, sondern der heutige Wert des Überschusses über die ganze Nutzung – zusätzlich zur geforderten Verzinsung.
Prüfungsrelevant · Abitur 2014/2015
Den Kapitalwert einer Investition ermitteln und das Ergebnis interpretieren.
Alternativen vergleichen
Gleiche : Gewählt wird die Alternative mit dem höchsten positiven .
Ungleiche Anschaffungsauszahlung: Die billigere Alternative lässt Kapital übrig, das anders eingesetzt werden kann.
Definition
Die ist die gedachte Anlage dieses gesparten Betrags. Wird er genau zum angelegt, ist ihr Kapitalwert null – dann lassen sich die Kapitalwerte direkt vergleichen.
Prüfungsrelevant · Abitur 2014/2015
Die Kapitalwerte zweier Alternativen vergleichen und eine Empfehlung begründen.
Der Kalkulationszinssatz
Definition
Der ist die Mindestverzinsung, die das Unternehmen von einer Investition verlangt. Er orientiert sich daran, was das Geld anderswo bringen würde oder was Fremdkapital kostet – mit einem Aufschlag für das Risiko.
Die Wahl des Zinssatzes verändert das Ergebnis stark:
- zu niedrig: Investitionen erscheinen attraktiver, als sie sind.
- zu hoch: auch sinnvolle Investitionen werden abgelehnt.
| Etikettiermaschine Kessler | 6 % | 8 % | 10 % |
|---|---|---|---|
| 8.838,44 € | 5.568,77 € | 2.494,37 € |
Beim Blockheizkraftwerk der Stadtwerke Talheim reicht schon ein Prozentpunkt: Bei 7 % statt 6 % sinkt der Kapitalwert auf rund −13.700 € – die Entscheidung kippt.
Prüfungsrelevant · Abitur 2026
Die erläutern und einen Vorschlag zur Höhe des Kalkulationszinssatzes beurteilen.
Probleme der Kapitalwertmethode
- Unsichere Prognosen: Überschüsse für viele Jahre sind Schätzungen – Absatz, Preise und Kosten ändern sich.
- Wahl des : Welcher Satz Risiko und Alternativen richtig abbildet, ist umstritten.
- Annahmen: Zahlungen am Jahresende, Rückflüsse lassen sich zum Kalkulationszinssatz wieder anlegen.
- Nicht in Euro Messbares wie Service, Umwelt oder Flexibilität kommt in der Zahl nicht vor.
Definition
Mit einer prüft man, wie stark der reagiert, wenn eine Annahme anders ausfällt – etwa 10 % weniger Absatz. So zeigt sich, wie robust die Entscheidung ist.
Prüfungsrelevant · Abitur 2014/2015
Probleme der erläutern.
Typischer Fehler
Den vergessen oder mit dem falschen Jahr abzinsen. Der Verkaufserlös fließt am Ende der Nutzung – er wird zusammen mit dem Überschuss des letzten Jahres abgezinst.
Wichtige Begriffe
Alle Begriffe stehen im Register.
Übungen
Übung 1Grundlagen
Wie viel sind 20.000 €, die in 2 Jahren fließen, bei 6 % heute wert ( 0,889996)?
Lösung anzeigen
20.000 € × 0,889996 = 17.799,92 € – das ist der .
Übung 2Anwendung
Eine Maschine kostet 50.000 €. Erwartet werden von 20.000 €, 20.000 € und 15.000 € und am Ende von Jahr 3 ein Verkaufserlös von 5.000 €. 8 % (Faktoren 0,925926 · 0,857339 · 0,793832). Berechne den und entscheide.
Lösung anzeigen
- Jahr 1: 20.000 € × 0,925926 = 18.518,52 €
- Jahr 2: 20.000 € × 0,857339 = 17.146,78 €
- Jahr 3: (15.000 € + 5.000 €) × 0,793832 = 15.876,64 €
- Summe 51.541,94 € − 50.000 € = 1.541,94 € > 0 → die Maschine ist vorteilhaft.
Übung 3Klausurniveau
Berechne den der Maschine aus Übung 2 mit 10 % (Faktoren 0,909091 · 0,826446 · 0,751315) und erläutere, was der Vergleich über die Methode aussagt.
Lösung anzeigen
18.181,82 € + 16.528,92 € + 15.026,30 € = 49.737,04 € − 50.000 € = −262,96 €.
Bei 10 % ist die Maschine nicht mehr vorteilhaft – sie verzinst das Kapital also mit mehr als 8 %, aber mit weniger als 10 %. Die Entscheidung hängt damit am gewählten . Bei knappen Ergebnissen sollte das Unternehmen den Zinssatz gut begründen und mit einer prüfen, wie sicher die Prognosen sind.
Zusammenfassung
Das Wichtigste
- = Zahlung ÷ (1 + i)ⁿ; später und höher verzinst heißt kleiner.
- = Σ Barwerte der Überschüsse + Barwert des − .
- C₀ > 0: mehr als die Mindestverzinsung – vorteilhaft; bei gleicher Anschaffung gewinnt der höchste Kapitalwert.
- Der entscheidet mit; Prognosen sind unsicher – hilft.
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