Abschnitt 3.1
Fixe und variable Kosten
Das kannst du danach
- Du unterscheidest fixe und variable Kosten nach ihrem Verhalten bei wechselnder Ausbringungsmenge.
- Du erklärst die Fixkostendegression und berechnest Stückkosten.
- Du ermittelst aus zwei Kostensituationen die variablen Stückkosten und die Fixkosten.
- Du stellst eine lineare Kostenfunktion auf und wendest sie an.
Worum es geht
Das Lastenradwerk Kessler baut im Monat 300 Räder. Würde es 301 bauen, kämen ein Rahmen, ein Akku und eine Ladefläche dazu – die Miete der Halle und das Gehalt der Buchhalterin aber nicht. Wer wissen will, was ein zusätzliches Stück kostet, ab wann sich ein Auftrag lohnt oder wie tief der Preis sinken darf, muss diese beiden Arten von Kosten auseinanderhalten.
Was mit der Menge wächst – und was nicht
Definition
(Kf) bleiben innerhalb der vorhandenen gleich hoch, egal ob viel oder wenig hergestellt wird: Miete, Gehälter der Verwaltung, Versicherungen, Abschreibungen, Zinsen.
Definition
(Kv) verändern sich mit der Ausbringungsmenge: Material, Verpackung, Stücklöhne, die Energie der Maschinen. Steigen sie gleichmäßig, kostet jedes zusätzliche Stück gleich viel – die kv. Dann gilt Kv = kv · x.
Beispiel aus dem Alltag
Die Taxifahrt
Ein Taxi verlangt 4,00 € Grundpreis und 2,20 € je Kilometer. Der Grundpreis ist fix – er fällt an, ob die Fahrt 1 oder 20 Kilometer lang ist. Der Kilometerpreis ist variabel. Für 10 Kilometer zahlt man 4,00 € + 10 × 2,20 € = 26,00 €, also 2,60 € je Kilometer; für 20 Kilometer nur noch 2,40 € je Kilometer. Je länger die Fahrt, desto weniger fällt der Grundpreis ins Gewicht.
Definition
Fixe Kosten sind nur bis zur Kapazitätsgrenze fix. Reicht die Halle nicht mehr, kommt eine zweite dazu – die Fixkosten springen auf ein höheres Niveau (). Alle Rechnungen der gelten deshalb innerhalb einer Kapazitätsstufe.
Merksatz
Variabel ist, was mit jedem Stück dazukommt; fix ist, was bis zur Kapazitätsgrenze ohnehin anfällt.
Gesamtkosten und Stückkosten
Formel
Gesamtkosten (Kostenfunktion)
K = Kf + kv · x
x = Menge, Kf = , kv =
Formel
Stückkosten
k = K ÷ x = Kf ÷ x + kv
Die Gesamtkosten verlaufen parallel zu den – der Abstand sind immer die Fixkosten.
Definition
Je mehr Stück hergestellt werden, desto stärker verteilen sich die Fixkosten. Die Fixkosten je Stück und damit die sinken – das ist die . Die variablen Stückkosten bleiben dabei gleich.
Schritt für Schritt
Stückkosten im Lastenradwerk Kessler
Fixkosten 120.000 € im Monat, variable Stückkosten 900 € je Rad, Kapazität 400 Räder. Wie hoch sind die Stückkosten bei 200 und bei 400 Rädern?
Gesamtkosten bei 200 Rädern.
Ergebnis:120.000 € + 900 € × 200 = 300.000 €
Stückkosten bei 200 Rädern.
Ergebnis:300.000 € ÷ 200 = 1.500 € (davon 600 € fix)
Gesamtkosten bei 400 Rädern.
Ergebnis:120.000 € + 900 € × 400 = 480.000 €
Stückkosten bei 400 Rädern.
Ergebnis:480.000 € ÷ 400 = 1.200 € (davon 300 € fix)
Vergleich.
Ergebnis:Doppelte Menge: Fixkosten je Rad halbiert, kv bleibt 900 € – die Stückkosten sinken um 300 €
Typischer Fehler
Glauben, die variablen Stückkosten sinken mit der Menge. Bei linearem Verlauf kostet jedes Rad 900 € Material und Teile, ob es das zehnte oder das dreihundertste ist. Was sinkt, sind die Fixkosten je Stück.
Kosten auflösen
Definition
Oft kennt die Buchhaltung nur die Gesamtkosten zweier Monate. Weil die in beiden gleich hoch sind, können die Mehrkosten nur von der Mehrmenge stammen. Diese liefert zuerst kv, dann Kf.
Formel
Variable Stückkosten aus zwei Kostensituationen
kv = (K₂ − K₁) ÷ (x₂ − x₁)
Danach Kf = K₁ − kv · x₁ und zur Probe K₂ = Kf + kv · x₂.
Schritt für Schritt
Februar und März im Lastenradwerk
Im Februar entstanden bei 240 Rädern 336.000 € Gesamtkosten, im März bei 300 Rädern 390.000 €. Ermittle kv, Kf und die .
Kosten- und Mengenunterschied.
Ergebnis:390.000 € − 336.000 € = 54.000 €; 300 − 240 = 60 Räder
.
Ergebnis:54.000 € ÷ 60 = 900 €
Fixkosten aus dem Februar.
Ergebnis:336.000 € − 900 € × 240 = 120.000 €
Probe mit dem März.
Ergebnis:120.000 € + 900 € × 300 = 390.000 € ✓
Kostenfunktion.
Ergebnis:K(x) = 120.000 + 900 · x
Prüfungen geben die Kosten nicht immer direkt an:
| Gegeben | So kommst du zu den Kosten |
|---|---|
| Gewinn statt Kosten | K = Umsatz − Gewinn = p · x − Gewinn |
| Fixkostenanteil (z. B. 55 % aller Kosten) | Kf = Anteil × K, dann kv = (K − Kf) ÷ x |
| Verlust | K = Umsatz + Verlust |
Beispiel: Im April verkauft Kessler 330 Räder zu je 1.650 € und erzielt 127.500 € Gewinn. Die Kosten waren also 330 × 1.650 € − 127.500 € = 417.000 € – genau 120.000 € + 900 € × 330.
Beispiel aus der Praxis
Ein Zweigwerk mit nur einem Produkt
Ein Werk für Fahrradanhänger hatte im Quartal 1.200.000 € Kosten, 55 % davon fix. Hergestellt und verkauft wurden 8.000 Anhänger. Fixkosten: 55 % von 1.200.000 € = 660.000 €. Variable : (1.200.000 € − 660.000 €) ÷ 8.000 = 67,50 €. Mit diesen beiden Zahlen lassen sich nun , und rechnen.
Typischer Fehler
Die Gesamtkosten durch die Menge teilen und das für kv halten. 336.000 € ÷ 240 = 1.400 € sind die gesamten Stückkosten – darin stecken 500 € Fixkosten je Rad. Für kv zählt nur der Unterschied zwischen den beiden Monaten.
Prüfungsrelevant · Abitur 2021/2022, Abitur 2025 (Nach-Nachtermin)
Variable Stückkosten und Fixkosten aus zwei Quartalen ermitteln – auch wenn statt der Kosten ein Gewinn gegeben ist – oder aus dem Fixkostenanteil.
Achtung
Das Verfahren heißt je nach Buch Differenzenverfahren, Zweipunkteverfahren oder Differenzen-Quotienten-Verfahren – gemeint ist immer dasselbe. Es setzt voraus, dass beide Mengen in derselben Kapazitätsstufe liegen und die Preise der Einsatzstoffe gleich geblieben sind.
Merksatz
Erst kv aus den Unterschieden, dann Kf aus einem Monat – und mit dem anderen die Probe.
Wichtige Begriffe
Alle Begriffe stehen im Register.
Übungen
Übung 1Grundlagen
Eine Bäckerei hat 6.000 € im Monat und 0,40 € je Brezel. Ordne zu, was fix und was variabel ist: Mehl, Pacht des Ladens, Strom des Backofens, Gehalt der Filialleiterin, Tüten. Berechne die bei 10.000 und bei 20.000 Brezeln.
Lösung anzeigen
- fix: Pacht des Ladens, Gehalt der Filialleiterin
- variabel: Mehl, Strom des Backofens (wächst mit den Backvorgängen), Tüten
- 10.000 Brezeln: 6.000 € ÷ 10.000 + 0,40 € = 1,00 €
- 20.000 Brezeln: 6.000 € ÷ 20.000 + 0,40 € = 0,70 € – die Fixkosten je Brezel halbieren sich.
Übung 2Anwendung
Ein Hersteller von Kajaks hatte im Mai bei 150 Kajaks 117.000 € Kosten, im Juni bei 210 Kajaks 145.800 €. Ermittle die , die und die . Mach die Probe.
Lösung anzeigen
- kv = (145.800 € − 117.000 €) ÷ (210 − 150) = 28.800 € ÷ 60 = 480 €
- Kf = 117.000 € − 480 € × 150 = 45.000 €
- Probe: 45.000 € + 480 € × 210 = 145.800 € ✓
- K(x) = 45.000 + 480 · x
Übung 3Klausurniveau
Ein Werk verkauft Solarmodule zu 250 € je Stück. Im ersten Quartal entstanden bei 1.600 Modulen 352.000 € Kosten. Im zweiten Quartal wurden 400 Module mehr verkauft, der Gewinn betrug 76.000 €. Ermittle kv und Kf. Wie hoch war der Gewinn im ersten Quartal?
Lösung anzeigen
- Kosten im zweiten Quartal: 2.000 × 250 € − 76.000 € = 500.000 € − 76.000 € = 424.000 €
- kv = (424.000 € − 352.000 €) ÷ (2.000 − 1.600) = 72.000 € ÷ 400 = 180 €
- Kf = 352.000 € − 180 € × 1.600 = 64.000 €
- Gewinn im ersten Quartal: 1.600 × 250 € − 352.000 € = 48.000 €
Die 400 zusätzlichen Module brachten je 70 € (250 € − 180 €), zusammen 28.000 € – genau der Gewinnzuwachs von 48.000 € auf 76.000 €.
Zusammenfassung
Das Wichtigste
- bleiben bis zur Kapazitätsgrenze gleich, wachsen mit der Menge; darüber werden Fixkosten sprungfix.
- K = Kf + kv · x, k = Kf ÷ x + kv – mit steigender Menge sinken die (), kv bleibt.
- : kv = Kostenunterschied ÷ Mengenunterschied, dann Kf = K − kv · x, Probe mit der zweiten Situation.
- Gewinn gegeben: K = Umsatz − Gewinn; Fixkostenanteil gegeben: Kf = Anteil × K.
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